原文

　　◎歷三

　　▲大統(tǒng)歷法一下(法原)

　　日月五星平定三差

　　太陽盈縮平立定三差之原。

　　冬至前后盈初縮末限，八十八日九十一刻，就整。離為六段，每段各得一十四日八十二刻。(就整。)各段實測日躔度數(shù)，與平行相較，以為積差。

　　積日 積差

　　第一段 一十四日八二 七千零五十八分零二五

　　第二段 二十九日六四 一萬二千九百七十六三九二

　　第三段 四十四日四六 一萬七千六百九十三七四六二

　　第四段 五十九日二八 二萬一千一百四十八七三二八

　　第五段 七十四日一零 二萬三千二百七十九九九七

　　第六段 八十八日九二 二萬四千零二十六一八四

　　各置其段積差，以其段積日除之，為各段日平差。置各段日平差，與后段日平差相減，為一差。置一差，與后段一差相減，為二差。

　　日平差 一差 二差

　　第一段 四百七十六分二五 三十八分四五 一分三八

　　第二段 四百三十七分八零 三十九分八三 一分三八

　　第三段 三百九十七分九七 四十一分二一 一分三八

　　第四段 三百五十六分七六 四十一分五九 一分三八

　　第五段 三百一十四分一七 四十三分九七

　　第六段 二百七十零分二零

　　置第一段日平差，四百七十六分二十五秒，為凡平積。以第二段二差一分三十八秒，去減第一段一差十八分四十五秒，余三十七分零七秒，不凡平積差。另置第一段二差一分三十八秒，折半得六十九秒，為凡立積差。以凡平積差三十七分零七秒，加入凡平積四百七十六分二十五秒，共得五百一十三分三十二秒，為定差。

　　以凡立積差六十九秒，去減凡平積差三十七分零七秒，余三十六分三十八秒為實，以段日一十四日八十二刻為法除之，得二分四十六秒為平差。置凡立積差六十九秒為實，以段日為法除二次，得三十一微，為立差。

　　夏至前后縮初盈末限，九十三日七十一刻，(就整。)離為六段，每段各得一十五日六十二刻。(就整。)各段實測日躔度數(shù)，與平行相較，以為積差。

　　積日 積差

　　第一段 一十五日六二 七千零五十八分九九零四

　　第二段 三十一日二四 一萬二千九百七十八六五八

　　第三段 四十六日八六 一萬七千六百九十六六七九

　　第四段 六十二日四八 二萬萬一千一百五十零七二九六

　　第五段 七十八日一零 二萬三千二百七十八四八六

　　第六段 九十三日七二 二萬四千零百一十七六二四四

　　推日平差、一差、二差術(shù)，與盈初縮末同。

　　日平差 一差 二差

　　第一段 四百五十一分九二 三十六分四七 一分三三

　　第二段 四百一十五分四五 三十七分八零 一分三三

　　第三段 三百七十七分六五 三十九分一二 一分三三

　　第四段 三百三十八分五二 四十零分四六 一分三三

　　第五段 二百九十八分零六 四十一分七九

　　第六段 二百五十六分二七

　　置第一段日平差，四百五十一分九十二秒，為凡平積。以第一段二差一分三十三秒，去減第一段一差三十六分四十七秒，余三十一分一十四秒，為凡平積差。另置第一段二差一分三十三秒折半，得六十六秒五十微，為凡立積差。以凡平積差三十五分一十四秒，加入凡平積四百五十一分九十二秒，共四百八十七分零六秒，為定差。以凡‘立積差六十六秒五十微，去減凡平差三十五分一十四秒，余三十四分四十七秒五十微為實，以段日一十五日六二為法除之，得二分二十一秒，為平差。置凡立積差六十六秒五十微為實，以段日為法，除二次，得二十七微，為立差。

　　凡求盈縮，以入歷初末日乘立差，得數(shù)以加平差，再以初末日乘之，得數(shù)以減定差，余數(shù)以初末日乘之，為盈縮積。

　　凡盈歷以八十日九零九二二五為限，縮歷以九十三日七一二零二五為限。在其限已下為初，以上轉(zhuǎn)減半歲周馀不末。盈初是人冬至后順推，縮末是從冬至前逆溯，其距冬至同，故其盈積同?？s初是從夏至后順推，盈末是從夏至前逆溯，其距夏至同，故其縮積同。

　　(表格略)

　　▲盈縮招差圖說

　　盈縮招生，本為一象限之法。(如盈歷則以八十八日九十一刻為象限，縮歷則以九十三日七十一刻為象限。)今止作九限者，舉此為例也。其空格九行定差本數(shù)，為實也。其斜綿以上平差立差之數(shù)，為法也。斜綿以下空格之定差，乃余實也。假如定差為一萬，平差為一百，立差為單一。今求九限法，以九限乘定差得九萬為實。另置平差，以九限乘二次，得八千一百。置立差，以九限乘三次，得七百二十九。并兩數(shù)得八百二十九為法。以法減實，余八萬一千一百七十一，為九限積。又法，以九限乘平差行九百，又以九限乘立差二次得八十一，并兩數(shù)得九進八十一為法，定差一萬為實，以法減實，余矣千零一十九，即九限末位所書之定差也。于是瑞以九限乘余實，得八萬一千一百七十一，為九限積，與前所不所得不同。蓋前法是先乘后減，又法是先減后乘，其理一也。

　　按《授時歷》于七政盈縮，并以垛積招差立算，其污七巧合天行，與西人用小輪推步之法，殊途同歸。然世所傳《九章》諸書，不載其術(shù)，《歷草》載其術(shù)，而不言其故。宣城梅文鼎為之圖解，于平差、立差之理，垛積之法，皆有以發(fā)明其所以然。有專書行于世，不能備錄，謹錄《招生圖說》，以明立法之大意云。

　　盈初縮末 置立差三十一微，以六因之，得一秒八十六微，為加分立差。置平差二分四十六秒，倍之，得四分九十二秒，加入加分立差，得四分九十二秒八十六微，為平立合差。

　　置定差五百一十三分三十二秒，內(nèi)減平差二分四十六秒，再減立差三十一微，余五百一十零分八十五秒六十九微，為加分。

　　縮初盈末　置立差二十七微，以六因之，得一秒六十二微，為加分立差。置平差二分二十一秒，倍之，得四分四十二秒，加入加分立差，得四分四十三秒六十二微，為平立合差。

　　置定差四百八十七分零六秒，內(nèi)減平差二分二十一秒，再減立差二十七微，余四百八十四分八十四秒七十三微，為加分。

　　已上所推，皆初日之數(shù)。其推次日，皆以加分立差，累加平立合差，為次日平立合差。以平立合差減其日加分，為次日加分，盈縮并同。其加分累積之，即盈縮積，其數(shù)并見立成。

　　▲太陰遲疾平立三差之原

　　太陰轉(zhuǎn)周二十七日五十五刻四六。測分四象，象各七段，四象二十八段，每段十二限，每象八十四限，凡三百三十六限，而四象一周。以四象為法，除轉(zhuǎn)周日，得每象六日八八八六五，分為七段，每段下實測月行遲疾之數(shù)，與平行相較，以求積差。

　　積限 積差

　　第一段 一十二 一度二十八分七一二

　　第二段 二十四 二度四十五分九六一六

　　第三段 三十六 三度四十八分三七九二

　　第四段 四十八 四度三十二分五九五二

　　第五段 六十 四度九十五分二四

　　第六段 七十二 五度三十二分九四四

　　第七段 八十四 五度四十二分三三七六

　　各置其段積差，以其段積限為法除之，為各段限平差。置各段限平差，與后段相減為一差。置一差，與后段一差相減為二差。

　　限平差 一差 二差

　　第一段 一十零分七二六零 四十七秒七六 九秒三六

　　第二段 一十零分二四八四 五十七秒一二 九秒本六

　　第三段 九分六七七二 六十六秒四八 九秒三六

　　第四段 九分零一二四 七十五秒八四 九秒三六

　　第五段 八分二五四零 八十五秒二零 九秒三六

　　第六段 七分四零二零 九十四秒五六

　　第七段 六分四五六四

　　置第一段限平差一十零分七二六為凡平積。置第一段一差四十七秒七六，以第一段二差九秒三六減之，余三十八秒四十微，為凡平積差。另置第一段二差九秒三十六微折半，得四秒六十八微，為凡立積差。以凡平積差三十八秒四十微，加凡平積一十零分七二六，得一十一分一十一秒，為定差。置凡平積差三十八秒四十微，以凡立積差四秒六十八微減之，余三十三秒七十二微為實，以十二限為法除之，得二秒八十一微，為平差。置凡立積差四秒六十八微為實，十二限為法，除二次，得三微二十五纖，為立差。

　　凡求遲疾，皆以入歷日乘十二限二十分，以在八十四限已下為初，已上轉(zhuǎn)減一百六十八限余為末。各以初末限乘立差，得數(shù)以加平差，再以初末限乘之，得數(shù)以減定差，余以初末限乘之，為遲疾積。其初限是從最遲最疾處順推至后，末限是從最遲最疾處逆溯至前，其距其距最遲疾處同，故其積度同。(太陰與太陽立法同，但太陽以定氣立限，故盈縮異數(shù)。太陰以平行立限，故遲疾同原。)

　　布立成法　置立差三微二十五纖，以六因之，得一十九微五十纖，為損益立差。置平差二秒八十一微，倍之，得五秒六十二微，再加損益立差一十九微五十纖，共得五秒八十一微，為初限平立合差。自此以損益立差，累加之，即每限平立合差。至八十限下，積至二十一秒四一五，為平立合差之極。八十一限下差一秒七八零九，八十二限下一秒七八零八，至八十三限下，平立合差，與益分中分，為益分之終。八十四限下差，亦與損分中分，為損分之始。至八十六限下差，亦二十一秒四一五，自此以損益立差累減之，即每限平立合差，至末限與初限同。置定差一十一分一十一秒，內(nèi)減平差二秒八十一微，再減立差三微二十五纖，余一十一分零八秒一十五微七十五纖為加分定差，即初限損益分。置損益分，以其限平立合差益減損加之。即為次限損益分。以益分積之，損分減之，便為其下遲疾度。以八百二十分為一限日率，累加八百二十分為每限日率。(以上俱詳立成。)

　　五星平立定三差之原　凡五星各以實測，分其行度為八段，以求積差，略如日月法。

　　木星(立差加，平差減。)

　　積日 積差

　　第一段 一十一日五十刻 一度二一五二九七一一二

　　第二段 二十三日 二度三四零五二一四

　　第三段 三十四日五十刻 三度三五四一三七二六五

　　第四段 四十六日 四度二三四六零九一二

　　第五段 五十七日五十刻 四度九六零四零一三七五

　　第六段 六十九日 五度五零九九七八四四

　　第七段 八十零日五十刻 五度八六一八零四七二五

　　第八段 九十二日 五度九九四三四四六四

　　凡平差 凡平較 凡立較

　　第一段 一十分五六七八零一 三十九秒一六二一 六秒二四二二

　　第二段 一十分一七六一八 四十五秒四零四三 六秒二四二二

　　第三段 九分七二二一三七 五十一秒六四六五 六秒二四二二

　　第四段 九分二零五六七二 五十七秒八八八七 六秒二四二二

　　第五段 八分六二六七八五 六十四秒一三零九 六秒二四二二

　　第六段 七分九八五四七六 七十零秒三七二一 六秒二四二二

　　第七段 七分二八一七四五 七十六秒六一五三

　　第八段 六分五一五五九二

　　各置其段所測積差度為實，以段日為法除之，為凡平差。各以凡平差與次段凡平差相較，為凡平較。又以凡平較與次段凡平較相較，為凡立較。置第一段凡平較三十九秒一六二一，減其下凡立較六秒二四二二，余三十二秒九一九九，為初段平立較。加初段凡平差一十分五六七八零一，共得一十零分八十九秒七十零微，為定差。秒置萬位。置初段平立較差三十二秒九一九九，內(nèi)減凡立較之半，三秒一二一一，余二十九秒七九八八，以段日一十一日五十刻除之，得二秒五十九微一十二纖為平差。置凡立差之半，三秒一二一一，以段日為法除二次，得二微三十六纖為立差。

　　已上為木星平立定三差之原。

　　火星盈初縮末。(立差減，平差減。)

　　積日

　　第一段 七日六十二刻五十分

　　第二段 一十五日二十五刻

　　第三段 二十二日八十七刻五十分

　　第四段 三十零日五十零刻

　　第五段 三十八日一十二刻五十分

　　第六段 四十五日七十五刻

　　第七段 五十三日三十七刻五十分

　　第八段 六十一日

　　積差

　　第一段 六度二六八二五一二二八一八五五九三七五

　　第二段 一十一度六零零一七五七四三五九三七五

　　第三段 一十六度零二五九六三七九二五一九五三一二五

　　第四段 一十九度六六九零一三六二一二五

　　第五段 二十二度二七九八九一四七六零七四二一八七五

　　第六段 二十四度一六八二二八六零三二八一二五

　　第七段 二十五度三三一五五六二四九二六零一五六二五

　　第八段 二十五度六一九五一五六六

　　凡平差

　　第一段 八十二分零六五七三四八四三七五

　　第二段 七十六分零六六七二六一六七五

　　第三段 七十零分零五八八五八一零九三七五

　　第四段 六十四分一八二九六九二五

　　第五段 五十八分四三九零五九六零九三七五

　　第六段 五十二分八二七一二九一八七五

　　第七段 四十七分三四七一七七九八四三七五

　　第八段 四十一分九九九二零六

　　凡平較

　　第一段 六分一三九八四七二九六八七五

　　第二段 六分零零七八六八零七八一二五

　　第三段 五分八七五八八八八五九三七五

　　第四段 五分七四三九零九六四零六二五

　　第五段 五分六一一九三零四二一八七五

　　第六段 五分四七九九五一二零三一二五

　　第七段 五分三四七九七一九八四三七五

　　凡立較

　　第一段 一十三秒一九七九二一八七五

　　第二段 一十三秒一九七九二一八七五

　　第三段 一十三秒一九七九二一八七五

　　第四段 一十三秒一九七九二一八七五

　　第五段 一十三秒一九七九二一八七五

　　第六段 一十三秒一九七九二一八七五

　　凡平較前多后少，應加凡立較。置初段下凡平較六分一三九八四七二九六八七五，加凡立較一十三秒一九七九二一八七五，得六分二七一八二六五一五六二五，為初日下平立較。置初段凡平差八十二分二十零秒六五七三四八四三七五，加初日下平立較六分二七一八二六五一五六二五，得八十八分四十七秒八十四微，為定差。置初日下平立較六分二七一八二六五一五六二五，加凡立較之半，六秒五九八九六零九三七五，得分三三七八一六一二五為實，以段日而一，得八十三秒一十一微八十九纖為平差。置凡立較之半，六秒五九八九六零九三七五，以段日七日六十二刻五十分為法除二次，得一十一微三十五纖為立差。

　　火星縮初盈末(平差負減，立差減。)

　　積日

　　第一段 一十五日二十五刻

　　第二段 三十零日五十刻

　　第三段 四十五日七十五刻

　　第四段 六十一日

　　第五段 七十六日二十五刻

　　第六段 九十一日五十刻

　　第七段 一百零六日七十五刻

　　第八段 一百二十二日

　　積差

　　第一段 四度五三一二五一八五七九六八七五

　　第二段 九度一零二九六一四五一二五

　　第三段 一十三度五三一六七零九零一七七三七五

　　第四段 一十七度四七八九七九零四

　　第五段 二十零度八四三六六三零六六四零六二五

　　第六段 二十三度四三一三三六二四一二五

　　第七段 二十五度零九二四三五二八三四六八七五

　　第八段 二十五度六一八三七四七二

　　凡平差

　　第一段 二十九分七一三一二六九三七五

　　第二段 二十九分八四五七七五二五

　　第三段 二十九分五七八三五五零六二五

　　第四段 二十八分六五四零六四

　　第五段 二十七分三三三九五一五六二五

　　第六段 二十五分六一八零一七七五

　　第七段 二十三分五零六二六二五六二五

　　第八段 二十零分九九八六八六

　　凡平較 凡立較

　　第一段 一十三秒二六四八三一二五 一十三秒五七六九七七五

　　第二段 二十六秒八四一八零八七五 六十五秒五八七二九七五

　　第三段 九十二秒四二九一零六二五 三十九秒五八二一三七五

　　第四段 一分三二零一一二四三七五 三十九秒五八二一三七五

　　第五段 一分七一五九三三八一二五 三十九秒五八二一三七五

　　第六段 二分一一一七五五一八七五 三十九秒五八二一三七五

　　第七段 二分五零七五七六二五

　　取凡立較停者，三十九秒五八二一三七五，以較一段下凡平較一十三秒二六四八三一二五，余二十六秒三一七三零六二五為較較，以加一段下凡平差二十九分七一三一二六九三七五，得二十九分九十七秒六十三微，為定差。置較較二十六秒三一七三零六二五，以段日一十五日二十五刻而一，得一秒七二五七二五。再置凡立較之半一十九秒七九一零六八七五，以段日而一，得一秒二九七七七五。兩數(shù)并得三秒零二微三十五纖為平差。置凡立較之半一十九秒七九一零六八七五，以段日一十五日二五為法除二次，得八微五十一纖，為立差。

　　已上為火星平立定三差之原。

　　▲土星盈歷(立差加，平差減。)

　　積日 積差

　　第一段 一十一日五十刻 一度六八三二四五八二八七五

　　第二段 二十三日 三度二三二一六四零一

　　第三段 三十四日五十刻 四度六二零九三零零八六二五　

　　第四段 四十六日 五度八二三七一九六

　　第五段 五十七日五十刻 六度八一四七零八六六八七五

　　第六段 六十九日 七度五六八零七一一一

　　第七段 八十零日五十刻 八度零五七九八四一九一二五

　　第八段 九十二日 八度二五八六二二八八

　　凡平差 凡平較 凡立較第一段 一十四分六三六九二零二五 五十八秒四零三三二五 七秒四八五三五第二段 一十四分零五二八八七 六十五秒八八八六七五 七秒四八五三五第三段 一十三分三九四零零零二五 七十三秒三七四零二五 七秒四八五三五第四段 一十二分六六零二六 八十零秒八五九三七五 七秒四八五三五第五段 一十一分八五一六六六二五 八十八秒三四四七二五 七秒四八五三五第六段 一十一分九六八二一九 九十五秒八三零零七五 七秒四八五三五第七段 一十零分零零九九一八二五 一分零三秒三一五四二五第八段 八分九七六七六四

　　置第一段下凡平較，內(nèi)減其下凡立較，余五十零秒九一七九七五，為平立較。以平立較，加本段凡平差，得一十五分一十四秒六十一微，為定差。置平立較，內(nèi)減凡立較之半，三秒七四二六七五，余四十七秒一七五三，以段日十一日五十刻而一，得四秒一十零微二十二纖，為平差。置凡立較之半，以段日除二次，得二微八十三纖，為立差。

　　▲土星縮歷　(立差加，平差減。)

　　積日 積差

　　第一段 一十一日五十刻 一度二四一九七四二六八七五

　　第二段 二十三日 二度四一三七三五六九

　　第三段 三十四日五十刻 三度四八五零七九六八六二五

　　第四段 四十六日 四度四二五八零一六八

　　第五段 五十七日五十刻 五度二零五六九七零九三七五

　　第六段 六十九日 五度七九四五六一三五

　　第七段 八十零日五十刻 六度一六二四一一零零四七五

　　第八段 九十二日 六度二七八三七八零八

　　凡平差 凡平較 凡立較第一段 一十分七九九七七六二五 三十零秒五二七三二五 八秒七五四九五第二段 一十分四九四五零三 三十九秒二八二二七五 八秒七五四九五第三段 一十分一零一六八零二五 四十八秒零三七二二五 八秒七五四九五第四段 九分六二一三零八 五十六秒七九二一七五 八秒七五四九五第五段 九分零五三三八六二五 六十五秒五四七一二五 八秒七五四九五第六段 八分三九七九一五 七十四秒三零三零七五 八秒七五四九五第七段 七分六五四八九四二五 八十三秒零五七零七五第八段 六分八二四三二四

　　置一段凡平較，內(nèi)減其下凡立較，余二十一秒七七二三七五，為平立較。以平立較加入本段凡平差，得一十一分零一秒七十五微，為定差。置平立較，內(nèi)減凡立較之半，四秒三七七四七五，余一十七秒三九四九，以段日一十一日五十刻為法除之，得一秒五十一微二十六纖，為平差。置凡立較之半，以段日為法除二次，得三微三十一纖為立差。

　　已上為土星平定三差之原。

　　金星(立差加，平差減。)

　　積日 積差

　　第一段 一十一日五十刻 空度四零二一三四零九八七五

　　第二段 二十三日 空度七九一三九三六六

　　第三段 三十四日五十刻 一度一五四九一二零八一二五

　　第四段 四十六日 一度七四九八二二七六

　　第五段 五十七日五十刻 一度七五三二五九零九三七五

　　第六段 六十九日 一度九六二三五四四八

　　第七段 八十零日五十刻 二度零九四二四二三一六二五

　　第八段 九十二日 二度一三六零五六

　　凡平差 凡平較 凡立較第一段 三分四九六八一八二五 五秒五九七六二五 三秒七二九四五第二段 三分四四零八四二零零 九秒三二七零七五 三秒七二九四五第三段 三分三四七五七一二五 一十三秒零六五五二五 三秒七二九四五第四段 三分二一七零零六 一十六秒七八五九七五 三秒七二九四五第五段 三分零四九一四六二五 二十零秒五一五四二五 三秒七二九四五第六段 二分八四三九九二 二十四秒二四四八七五 三秒七二九四五第七段 二分六零一五四三二五 二十七秒九七四三二五第八段 二分三二一八

　　置一段下凡平較，與其凡立較相減，余一秒八六一七五為平立較，以加凡平差，得三分五十一秒五十五微，為定差。置平立較，與凡立較之半，一秒八六四七二五相減，余三十四纖，以段日一十一日五十刻為法除之，得三纖，為平差。置凡立較之半，以段日為為法除二次，得一微四十一纖，為立差。

　　已上為金星平立定三差之原。

　　▲水星(立差加，平差減。)

　　積日 積差

　　第一段 一十一日五十刻 空度四四零八四七三五三七五

　　第二段 二十三日 空度八六三一零一六八

　　第三段 三十四日五十刻 一度二五三八九六三七六二五

　　第四段 四十六日 一度六零零三六四八四

　　第五段 五十七日五十刻 一度八八九六三一零四三七五

　　第六段 六十九日 二度一零八八六六六

　　第七段 八十零日五十刻 二度二四五二九二一一三七五

　　第八段 九十二日 二度二八五六四四三二

　　凡平差 凡平較 凡立較

　　第一段 三分八三三四五五二五 八秒零八三九二五 三秒七二九四五

　　第二段 三分七五二六一六 一十一秒八一三三七五 三秒七二九四五

　　第三段 三分六三四四八二二五 一十五秒五四二八二五 三秒七二九四五

　　第四段 三分四七九零五四 一十九秒二七二二七五 三秒七二九四五

　　第五段 三分二八六三三一二五 二十三秒零零一七二五 三秒七二九四五

　　第六段 三分零五六三一四 二十六秒七三二一七五 三秒七二九四五

　　第七段 二分七八九零零二二五 三十零秒四六零六二五

　　第八段 二分四八四三九六

　　術(shù)同金星，求得定差三分八十七秒九十微，平差二十一微六十五纖，立差一微四十一纖。

　　已上為水星平立定三差之原。

　　在五星，皆以立差為秒，平差為本，定差為總。五星各以段次因秒，木土金水四星并本，惟火星較本，各以積日而積，五星皆較總，又各以積日乘之，得各實測之度分。

　　五星積日，皆本度率，除周日得三百六十五度二十五分太。各以四分之一為象限，惟火星用象限三之一，減象限為盈初縮末限，加象限為縮初盈末限。其命度為日者，為各取盈縮歷乘除之便，其實積日之數(shù)，即積度也。

　　▲里差刻漏

　　求二至差股及出入差。術(shù)曰：置所測北極出地四十度九十五分為半弧背，以前割圓弧矢法，推得出地半弧弦三十九度二十六分，為大三斜中股。置測到二至黃赤道內(nèi)外度二十三度九十分為半弧背，以前法推得內(nèi)外半弧弦二十三度七十一分。又為黃赤道大句，又為小三斜弦。置內(nèi)外半弧弦自之為句冪，半徑自之為弦冪，二冪相減，開方得股，以股轉(zhuǎn)減半徑，余四度八十一分為二至出入矢，即黃赤道內(nèi)外矢。夏至日，南至地平七十四度二十六分半為半弧背，求得日下至地半弧弦五十八度四十五分。半徑六十零度八十七分半，為大三斜中弦。置大三斜中股三十九度二十六分，以二至內(nèi)外半弧弦二十三度七十一分乘之為實，以半徑六十零度八十七分半為法除之，得一十五度二十九分，為小三斜中股又為小股。置小三斜中股一十五度二十九分，去減日下至地半弧弦五十八度中十一分，余四十三度一十六分，為大股。以出入矢四度八十一分，去減半徑六十零度八十七分半，余五十六度零六分半，為大股弦。置大股弦，以小股一十五度二九乘之為實，大股四十三度一六為法除之，得一十九度八十七分為小弦，即為二至出入差半弧弦。置二至出入差半弧弦，依法求到二至出入差半弧背一十九度九十六分一十四秒。置二至出入差半弧背一十九度九十六一四秒，置二至出入半弧背一十九度九六一四，以二至黃赤道內(nèi)外半弧弦二十三度七十一分除之，得八十四分一十九秒，為度差分。

　　求黃道每度書夜刻?！⌒g(shù)曰：置所求每度黃赤道內(nèi)外半弧弦，以二至出入差半弧背乘之為實，二至黃赤道內(nèi)外半弧弦為法除之，為每度出入差半弧背。(又術(shù)：置黃赤道內(nèi)外半弧弦，以度差八十四分一十九秒乘之，亦得出入差半弧背。置半徑內(nèi)減黃赤道內(nèi)外矢，即赤道二弦差，見前條立成。)余數(shù)倍之，又三因之，得數(shù)加一度，為日行百刻度。(又術(shù)：以黃赤道內(nèi)外矢倍之，以減全徑余數(shù)，三因加一度，為日行百刻度，亦同。)置每度出入半弧背，以百刻乘之為實，日行百刻為法除之，得數(shù)為出入差刻。置二十五刻，以出入差刻視黃道，在赤道內(nèi)加之，在赤道外減之，得數(shù)為半晝刻，倍之為晝刻，以減百刻，為夜刻。

　　如求冬至后四度晝刻。術(shù)曰：置冬至后四十四度黃赤道內(nèi)外半弧一十七度二十五分六十九秒，(又為黃赤道小弧弦，前立成中取之。)以二至出入差半弧背一十九度九十六分一十四秒乘之為實，以二至黃赤道內(nèi)外半弧弦二十三度七十一分為法除之，得一十四度五十二分八十五秒，為出入半弧背。(又法：置黃赤道內(nèi)外半弧弦一十七度二五六九，以度差零度八四一九乘之，亦得一十四度五二八五，為出入半弧背。)置半徑六十零度八七五，以四十四度黃赤道內(nèi)外矢二度五十一分八十一秒(又為赤道二弦差，前立成中取之。)減之，余五十八度三十五分六十九秒，(即赤道小弦。)倍之，得一百一十六度七十一分三十八秒，三因之，加一度，得三百五十一度一十四分一十四秒，為日行百刻度。(又術(shù)：倍黃赤道內(nèi)外矢得五度零三分六十二秒，以減全徑一百二十一度七十五分，亦得一百一十六度七十一分三十八秒，三因加一度，為日行百刻度，亦同。)置出入半弧背一十四度五十二分八十五秒，以百刻乘之為實，以日行百刻度三百五十一度一十四分一十四秒為法除之，得四刻一十三分七十五秒，為出入差刻。置二十五刻，以出入差刻四刻一十三分七十五秒減之，(因冬至后四十四度，黃道在赤道外，故減。)余二十零刻八十六分二十五秒，為半晝刻。倍之得四十一刻七十二分半，為晝刻。以晝刻減百刻，余五十八刻二十七分半，為夜刻。(又術(shù)：置出入差刻四刻一十三分七十五秒，倍之，得八刻二十七分半，以減春秋分晝夜五十刻，得四十一刻七十二分半，為晝刻。以倍刻加五十刻，得五十八刻二十七分半，為夜刻。晝減故廢加，余仿此。)

　　(表格略)

　　右《歷草》所載晝夜刻分，乃大都即燕京晷漏也。夏晝、冬夜極長，六十一刻八十四分，冬晝、夏夜極短，三十八刻一十六分。明既遷都于燕，不知遵用。惟正統(tǒng)己巳奏準頒歷用六十一刻，而群然非之。景泰初仍復用南京晷刻，終明之世未能改正也。

譯文及注釋

　　太陽盈縮平立定三差的來源冬至前后是太陽運行速度減速結(jié)束加速開始的象限，到春分共八十八日九十一刻，取整數(shù)。

　　切分為六段，每段各有十四日八十二刻。

　　取整數(shù)。

　　各段實測到的太陽運行度數(shù)，與平均速度相減，余數(shù)就是積差。

　　將各段的累積差敷，除以各段的累積日敷，就是各段的日平均差。

　　將各段的日平均差，輿后一段的日平均差相減，就是一差。

　　將一差輿后一段的一差相減，就是二差。

　　將第一殷的日平差四百七十六分二十五秒作為泛平積。

　　將第一段的一差三十八分四十五秒，減去第二段的二差一分三十八秒，余三十七分o七秒，就是泛平積差。

　　另將第一段的二差一分三十八秒折半，得六十九秒，就是泛立積差。

　　將泛平積差三十七分o七秒，加上泛平積四百七十六分二十五秒，共得五百一十三分三十二秒，就是定差。

　　將泛平積差三十七分O七秒，減泛立積差六十九秒，余三十六分三十八秒作為被除數(shù)，用每段日數(shù)十四日八十二刻為除數(shù)與之相除，得二分四十六秒，就是平差。

　　以泛立積差六十九秒作為被除數(shù)，用每段日敷作為除數(shù)與之相除二次，得三十一微，就是立差。

　　夏至前后是太陽運行速度加速結(jié)束速減速開始的象限，到秋分共九十三日七十一刻，取整數(shù)。

　　切分為六段，每段各有十五日六十二刻。

　　取整數(shù)。

　　各段實測到的太陽運行度數(shù)，與平均速度相減，余數(shù)就是積差。

　　推算日平差、一差、二差的方法，與減速結(jié)束加速開始的象限相同。

　　將第一段的日平差四百五十一分九十二秒作為泛平積。

　　將第一段的一差三十六分四十七秒，減去第一段的二差一分三十三秒，余三十五分十四秒，就是泛平積差。

　　另將第一段二差一分三十三秒折半，得六十六秒五十微，就是泛立積差。

　　將泛平積差三十五分十四秒，加上泛平積四百五十一分九十二秒，共四百八十七分O六秒，就是定差。

　　將泛平差三十五分十四秒，減去泛立積差六十六秒五十微，余三十四分四十七秒五十微作為被除數(shù)，用每段日敷十五日六二作除敷與之相除，得二分二十一秒，就是平差。

　　將泛立積差六十六秒五十微作為被除數(shù)，用每段的日敷作為除數(shù)輿之相除二次，得二十七微，就是立差。

　　凡是求太陽運行度敷的增減，用所求時段的始末日數(shù)乘以立差，得數(shù)再加平差，再乘始末日數(shù)，得敷再減定差，余數(shù)再乘以始末日敷，就是增減的度敷的累積數(shù)。

　　太陽運行速度超過平均敷的時段以八十八日九O九二二五運行一個象限，低于平均敷的時候以九十三日七一二o二五運行一個象限。

　　在此象限以下焉初，在象限以上逆推減去半年剩下的是末。

　　盈初是從冬至往后順推，縮末是從冬至往前逆推，它們距冬至的距離相同。

　　所以盈積的度敷相同。

　　縮初是從夏至往后順推，盈末是從夏至往前逆推，它們距夏至的距離相同，所以縮減的度數(shù)相同。

　　盈縮招差，本來是一種象限的推算方法。

　　如太陽運行速度超過平均敷的時段，以八十八日九十一刻為一個象限，低于平均敷的時段，則以九十三日七十一刻為一個象限。

　　現(xiàn)在只作九個象限，是舉此作為例子。

　　圖中九行格子中的定差本敷，是被減數(shù)。

　　斜線似上的平差立差敷，是減敷。

　　斜殘以下格子中的定差，是減后的余敷。

　　假如定差為一萬，平差為一百，立差為一。

　　現(xiàn)在求第九象限的方法是，以象限敷九乘定差得九萬作為被減數(shù)。

　　另外用平差，以九乘兩次，得八千一百。

　　將立差用九乘三次，得七百二十九。

　　兩敷相加得八千八百二十九作為減數(shù)。

　　將被減數(shù)和減數(shù)相減，余數(shù)焉八萬一千一百七十一，就是第九象限的累積數(shù)。

　　另外一種方法是，以九乘平差得九百，又以九乘立差兩次得八十一，合并兩數(shù)得九百八十一作為減數(shù)，定差一萬作為減數(shù)，兩數(shù)相減，余九千零一十九，就是第九象限末位所寫的定差。

　　遭時再以九乘余數(shù)，得八萬一千一百七十一，就是第九象限的累積數(shù)，與前一種方法的得敷相同。

　　只是前一種方法是先乘后減，后一種是先減后乘，其道理是一樣的。

　　按：《授時歷》對于日月五星運行度數(shù)的增減，都是用垛積招差的方法來計算，這種方法巧妙地與天體的運行相合，與西方人用小輪推算的方法，殊途同歸。

　　然而傳世的各種算術(shù)書，都沒有記載這種方法，《歷草》記載了這種方法，但沒有談它的道理。

　　宣城梅文鼎為此作了圖解，對于平差、立差的道理，垛積的方法，都有解說闡明其所以然。

　　有專書流行于世，不能詳細抄錄，只是摘錄了《招差圖說》，以說明他創(chuàng)立這種方法的大意而已。

　　凡是推算敷據(jù)衰盈初縮末：將立差三十一微，乘以六，得一秒八十六微，就是加分立差。

　　將平差二分四十六秒，加倍，得四分九十二秒，加入加分立差，得四分九十三秒八十六微，就是平立合差。

　　將定差五百一十三分三十二秒，減平差二分四十六秒，再堿立差三十一微，剩五百一十分八十五秒六十九微，就是加分。

　　縮初盈末：將立差二十七微，乘以六，得一秒六十二微，就是加分立差。

　　將平差二分二十一秒，加倍，得四分四十二秒，加入加分立差，得四分四十三秒六十二微，就是平立合差。

　　將定差四百八十七分零六秒，減平差二分二十一秒，再減立差二十七微，余四百八十四分八十四秒七十三微，就是加分。

　　以上所推算的，都是象限第一天的數(shù)據(jù)。

　　推算次日，都以加分立差，加平立合差，就是次日的平立合差。

　　以平立合差減這一日的加分，就是次日的加分。

　　盈積和縮減都相同。

　　將加分累計，就是盈積和縮減的累計數(shù)，其敷據(jù)都見于數(shù)據(jù)表。

　　月亮運行快慢平立定三差的來源月亮運行一周焉二十七日五十五刻四六，測量分焉四象，每象各分七段，四象二十八段，每段十二限，每象八十四限，共三百三十六限，而四象合為一周。

　　以四象作為除數(shù)，輿旋轉(zhuǎn)一周的日敷相除，每象得六日八八八六五，再分為七段，每段下實測月亮運行快慢的數(shù)據(jù)，再與平均速度相減，以求積差。

　　以各段的積差作為被除數(shù)，以各段的積限作為除數(shù)與之相除，就是各段、限的平均差。

　　將各段、限的平均差，與后段相減就是一差。

　　將一差與后段一差相減就是二差。

　　將第一段的限平差十分七二六作為泛平積。

　　將第一段一差四十七秒七六，減第一段二差九秒三六，余三十八秒四十微，就是泛平積差。

　　另外將第一段的二差九秒三十六微折半，得四秒六十八微，就是泛立積差。

　　以泛平積差三十八秒四十微，加泛平積十分七二六，得十一分一十一秒，就是定差。

　　將泛平積差三十八秒四十微，減泛立積差四秒六十八微，余三十三秒七十二微作為被除數(shù)，以十二限作為除數(shù)與之相除，得二秒八十一微，就是平差。

　　將泛立積差四秒六十八微作為被除數(shù)，以十二限作為除數(shù)，除二次，得三微二十五纖，就是立差。

　　凡是求月亮運行快慢，都以所求時段的起始日數(shù)乘每日十二限二十分，以在第八十四限以下馬初，在此以上逆推減去一百六十八限的余數(shù)為末。

　　各根據(jù)初、末的限乘立差，得敷再加平差，再乘以初、末的限敷，得數(shù)再藏定差，余數(shù)再乘以初、末限敷，就是快慢的累積敷。

　　其初限是從最慢最快處順推至后，末限是從最慢最快處逆推至前，它們輿最慢最快處的距離相同，所縱盈積的度數(shù)也相同。

　　月亮和太陽設立的方法相同，但太陽以定氣確定象限，所以盈積和縮減的敷量不同。

　　月亮以平均速度確定象限，所以快慢原理相同。

　　推算數(shù)據(jù)表的方法：將立差三微二十五纖，乘以六，得十九微五十纖，就是損益立差。

　　將平差二秒八十一微，加倍，得五秒六十二微，再加損益立差十九微五十纖，共得五秒八十一纖，就是初限平立合差。

　　從這里開始逐次加上損益立差，就是每限的平立合差。

　　到第八十限之下，累積至二十一秒四一五，就是平立合差的最大值。

　　八十一限之下平立合差為一秒七八o九，八十二限之下平立合差焉一秒七八O八，到八十三限之下，平立合差將益分即增益數(shù)和損分即減損數(shù)從中分開，是益分的終結(jié)。

　　八十四限之下的平立合差，也將損分和益分從中分開，是損分的開始。

　　到八十六限下的平立合差，也是二十一秒四一五，從這里開始逐次減去損益立差，則每限的平立合差，到末限與初限相同。

　　將定差十一分十一秒，減去平差二秒八十一微，再減去立差三微二十五纖，余十一分零八秒十五微七十五纖，就是加分定差，也就是初限的損益分。

　　將損益分與逭一限的平立合差相加或相減，就是下一限的損益分。

　　將益分累加，損分累減，就是這一限下的遲疾度。

　　以八百二十分為一限的日率，累加八百二十分就是每限的日率。

　　以上都詳見敷據(jù)表。

　　凡是五星都各自依據(jù)實際測量，將它們的運行度敷分焉八殷，來推求積差，大致和太陽月亮的方法一樣。

　　將各段所測到的積差敷作為被除數(shù)，以每段的日數(shù)作為除數(shù)與之相除，就是泛平差。

　　以各段的泛平差輿下一段的泛平差相減，就是泛平較。

　　又以泛平較輿下一段的泛平較相減，就是泛立較。

　　將第一段的泛平較三十九秒一六二一，減這一段的泛立較六秒二四二一，余三十二秒九一九九，就是初段的平立較。

　　加上初段的泛平差十分五六七八零一，共得十分八十九秒七十微，就是定差。

　　秒設置在葛位。

　　將初段平立較差三十二秒九一九九，減泛立較的一半三秒一二一一，余二十九秒七九八八，除縱該段日敷十一日五十刻，得二秒五十九微十二纖，就是平差。

　　將泛立差的一半三秒一二一一，以該段日敷作為除數(shù)輿之相除兩次，得二微三十六纖，就是立差。

　　以上是木星平立定三差的來源。

　　火星盈初縮末立差相減，平差相減。

　　泛平較前多后少，應加上泛立較。

　　將初段的泛平較六分一三九八四七二九六八七五，加泛立較十三秒一九七九二一八七五，得六分二七一八六五一五六二五，就是初日的下平立較。

　　將初段的泛平差八十二分二十秒六五七三四八四三七五，加初日的下平立較六分二七一八二六五一五六二五，得八十八分四十七秒八十四微，就是定差。

　　將初日的下平立較六分二七一八二六五一五六二五，加泛立較的一半六秒五九八九六o九三七五，得六分三三七八一六一二五作為被除數(shù)，以該段的日敷相除，得八十三秒十一微八十九纖，就是平差。

　　將泛立較的一半六秒五九八九六o九三七五，用該段日敷七日六十二刻五十分作為除數(shù)除兩次，得十一微三十五纖，就是立差。

　　火星縮初盈末平差負誠，立差相減。

　　取比較均勻的泛立較三十九秒五八二一三七五，減去一段的泛平較十三秒二六四八三一二五，余二十六秒三一七三零六二五就是減得的差敷，再加一段的泛平差二十九分七一三一二六九三七五，得二十九分九十七秒六十三微，就是定差。

　　將減得的差數(shù)二十六秒三一七三零六二五，用該段的日敷十五日二十五刻相除，得一秒七二五七二五。

　　再將泛立較的一半十九秒七九一零六八七五，用該日數(shù)相除，得一秒二九七七t五。

　　兩敷相加得三秒零二微三十五纖，就是乎差。

　　將泛立較的一半十九秒七九一零六八七五，用該段日敷十五日二五作除數(shù)除二次，得八微五十一纖，就是立差。

　　以上是火星平立定三差的來源。

　　土星盈歷立差相加，平差相減。

　　將第一段的泛平較，減同段的泛立較，余五十秒九一七九七五，就是平立較。

　　用平立較，加本段泛平差，得十五分十四秒六十一微，就是定差。

　　將平立較，減泛立較的一半三秒七四二六七五，余四十七秒一七五三，再用本段日敷十一日五十刻相除，得四秒一十微二十二纖，就是平差。

　　將泛立較的一半，用本段的日敷除二次，得二微八十三纖，就是立差。

　　土星縮歷立差相加，平差相減。

　　將第一段的泛平較，減同段的泛立較，余二十一秒七七二三七五，就是平立較。

　　用平立較加本段泛平差，得十一分o一秒七十五微，就是定差。

　　將平立較，減泛立較的一半四秒三七七四七五，余十七秒三九四九，用本段日數(shù)十一日五十刻作為除數(shù)相除，得一秒五十一微二十六纖，就是平差。

　　將泛立較的一半，用本段日數(shù)怍為除數(shù)除二次，得三微三十一纖，就是立差。

　　以上是土星平立定三差的來源。

　　將第一段的泛平較，與本段泛立較相減，余一秒八六八一七五就是平立較，再加泛平差，得三分五十一秒五十五微，就是定差。

　　將平立較與泛立較的一半一秒八六四七二五相減，余三十四纖，再以本段日敷十一日五十刻作為除數(shù)與之相除，得三纖，就是平差。

　　將泛立較的一半，用本段日數(shù)作為除數(shù)與之相除二次，得一微四十一纖，就是立差。

　　以上是金星平立定三差的來源。

　　水星立差相加，平差相減。

　　方法與金星相同，求得定差三分八十七秒九十微，平差二十一微六十五纖，立差一微四十一纖。

　　以上是水星平立定三差的來源。

　　以上五星，都以立差作為末端，以平差作為根本，以定差作為總括。

　　五星各自根據(jù)段次取得立差，木土金水四星加上平差，只有火星堿去平差，各自根據(jù)日數(shù)的積累而得到積差，五星都城去定差，又各以積日相乘，得到各自寅測的度數(shù)。

　　五星的積日，都用比率，除以一周天的日敷得三百六十五度二十五分又四分之三。

　　各以周天度數(shù)的四分之一焉一象限，只有火星用象限的三分之一，與一象限相減焉盈初縮末限，加一象限為縮初盈末限。

　　之所以將度稱為日，是為了各自取盈縮歷乘除的方便，實際上積得的北極出地度即北緯四十度九十五分作為半弧背，用前述的割圓弧矢法，推得出地半弧弦為三十九度二十六分，這就是大三斜中股。

　　將測到的冬至夏至時的黃道赤道內(nèi)外度二十三度九十分為半弧背，用前述的方法推算出內(nèi)外半弧弦為二十三度七十一分。

　　又是黃道赤道大勾，又是小三斜弦。

　　將內(nèi)外半弧弦自乘作為勾的冪，天圓半徑自乘作為弦的冪，二冪相減，余數(shù)開方就得到股。

　　又用半徑減股，余四度八十一分，就是冬至夏至出入矢，也是黃道赤道內(nèi)外矢。

　　以夏至日太陽南至地平的七十四度二十六分半作為半弧背，求得太陽下至地平的半弧弦五十八度四十五分。

　　半徑六十度八十七分半，是大三斜中弦。

　　將大三斜中股三十九度二十六分，乘以冬至夏至內(nèi)外半弧弦二十三度七十一分作為被除數(shù)，用半徑六十度八十七分半作為除數(shù)與之相除，得十五度二十九分，就是小三斜中股。

　　又是小股。

　　以小三斜中股十五股二十九分，被太陽下至地平半弧弦五十八度四十五減去，余四十三度十六分，就是大股。

　　以出入矢四庋八十一分，被半徑六十度八十七分半減去，余五十六度o六分半，就是大股弦。

　　將大股弦乘以小股十五度二九作為被除數(shù)，用大股四十三度一六作為除數(shù)輿之相除，得十九度八十七分作為小弦，也就是冬至夏至出入差半弧弦。

　　根據(jù)冬至夏至出入差半弧弦，按法則求得冬至夏至出入差半弧背為十九度九十六分十四秒。

　　將冬至夏至出入差半弧背十九度九六一四，用冬至夏至黃道赤道內(nèi)外半弧弦二十三度七十一分與之相除，得八十四分十九秒，就是度差分。

　　求黃道每度晝夜的時刻。

　　方法是：將所求的每度黃道赤道內(nèi)外半弧弦，用冬至夏至出入差半弧背與之相乘作為被除數(shù)，用冬至夏至黃道赤道內(nèi)外半弧弦作為被除數(shù)與之相除，就是每度出入差的半弧背。

　　另一種方法是：將黃道赤道內(nèi)外半弧弦，用度差八十四分一十九秒與之相乘，也得到出入差半弧背。

　　在半徑內(nèi)減黃道赤道內(nèi)外矢，即赤道二弦差，秋分晝夜五十刻誠去它，得四十一刻七十二分半，就是白畫的時刻。

　　以加倍所得的時刻加五十刻，得五十八刻二十七分半，就是夜晚的時刻。

　　白晝減，所以夜晚加，其余的與此相仿。

　　敷，也就是度數(shù)。

　　求冬至夏至差股及出入差。

　　方法是：將所測以上《歷草》所記載的晝夜時刻，是大都即燕京的晷影漏刻。

　　夏天白晝、冬天夜晚最長是六十一刻八十四分，冬天白晝、夏天夜晚最短是三十八刻十六分。

　　明遷都到燕京以后，不知道遵循沿用。

　　只是在正統(tǒng)己巳年奏準頒布歷法用六十一刻，而受到群起非難。

　　景泰初年仍然恢復使用南京的時刻，到明代結(jié)束也役能改正。

參考資料：
1、佚名.道客巴巴.http://www.doc88.com/p-9671900034457.html